Coordonnées d'un vecteur

Propriété (admise)

Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. On considère un vecteur du plan noté \(\overrightarrow{u}\) .
Alors, il existe un unique couple de réels \(\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)\) tels que \(\boxed{\overrightarrow{u} = \color{green} x \times \overrightarrow{i} + \color{red} y \times \overrightarrow{j}}\).

Définition

Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. On considère un vecteur du plan noté \(\overrightarrow{u}\) .
Soit \(\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)\) le couple de réels tels que \(\overrightarrow{u} = \color{green} x \times \overrightarrow{i} + \color{red} y \times \overrightarrow{j}\).
Alors, on dit que le  vecteur \(\overrightarrow{u}\) a pour coordonnées le couple \(\left( \color{green} x ; \color{red} y \right)\) dans la base \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\).
On note \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \color{green} x \\ \color{red} y \\ \end{pmatrix}\).

Exemple

Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base orthonormée du plan. On considère un vecteur du plan noté \(\overrightarrow{u}\).
On a \(\overrightarrow{u} = \color{green} 5 \times \overrightarrow{i} + \color{red} 2 \times \overrightarrow{j}\).
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\) dans la base \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) sont \(\begin{pmatrix} \color{green} 5 \\ \color{red} 2\\ \end{pmatrix}\).

Remarque

Soit \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan. On s'intéresse au vecteur nul \(\overrightarrow{0}\).
On a \(\overrightarrow{0} = 0 \times \overrightarrow{i} + 0 \times \overrightarrow{j}\). Donc \(\overrightarrow{0} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \end{pmatrix}\).